సరళ సంబంధాల నిర్వచనం

సరళ సంబంధం అంటే ఏమిటి?

లీనియర్ రిలేషన్ (లేదా లీనియర్ అసోసియేషన్) అనేది వేరియబుల్ మరియు స్థిరాంకం మధ్య సరళరేఖ సంబంధాన్ని వివరించడానికి ఉపయోగించే గణాంక పదం. సరళ సంబంధాలు గ్రాఫికల్ ఆకృతిలో వ్యక్తీకరించబడతాయి, ఇక్కడ వేరియబుల్ మరియు స్థిరాంకం సరళ రేఖ ద్వారా లేదా గణిత ఆకృతిలో అనుసంధానించబడి ఉంటాయి, ఇక్కడ స్వతంత్ర వేరియబుల్ వాలు గుణకం ద్వారా గుణించబడుతుంది, స్థిరాంకం చేత జోడించబడుతుంది, ఇది ఆధారిత వేరియబుల్‌ను నిర్ణయిస్తుంది.

సరళ సంబంధం బహుపది లేదా నాన్-లీనియర్ (వక్ర) సంబంధంతో విభేదించవచ్చు.

కీ టేకావేస్

• లీనియర్ రిలేషన్ (లేదా లీనియర్ అసోసియేషన్) అనేది వేరియబుల్ మరియు స్థిరాంకం మధ్య సరళరేఖ సంబంధాన్ని వివరించడానికి ఉపయోగించే ఒక గణాంక పదం. లీనియర్ సంబంధాలు గ్రాఫికల్ ఆకృతిలో లేదా y = mx + b రూపం యొక్క గణిత సమీకరణంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. రోజువారీ జీవితంలో సరళ సంబంధాలు చాలా సాధారణం.

సరళ సమీకరణం:

గణితశాస్త్రపరంగా, సరళ సంబంధం అనేది సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచేది:

y = MX + bwhere: m = slopeb = y-అడ్డుకొనే

ఈ సమీకరణంలో, “x” మరియు “y” రెండు వేరియబుల్స్, ఇవి “m” మరియు “b” పారామితుల ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. గ్రాఫికల్ గా, xy విమానంలో y = mx + b ప్లాట్లు వాలు “m” మరియు y- ఇంటర్‌సెప్ట్ “b” తో ఒక పంక్తిగా ఉంటాయి. Y- అంతరాయం “b” అనేది x = 0 ఉన్నప్పుడు “y” విలువ. “M” వాలు ఏదైనా రెండు వ్యక్తిగత పాయింట్ల (x ₁, y ₁) మరియు (x ₂, y ₂) నుండి లెక్కించబడుతుంది:

$m=\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}$ m = (x2 -x1) (y2 -y1)

సరళ సంబంధం

సరళ సంబంధం మీకు ఏమి చెబుతుంది?

సరళ ఒకటిగా అర్హత సాధించడానికి ఒక సమీకరణం తీర్చవలసిన అవసరమైన మూడు సెట్లు ఉన్నాయి: సరళ సంబంధాన్ని వ్యక్తీకరించే సమీకరణం రెండు వేరియబుల్స్ కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు, ఒక సమీకరణంలోని అన్ని వేరియబుల్స్ మొదటి శక్తికి ఉండాలి, మరియు సమీకరణం సరళ రేఖగా గ్రాఫ్ చేయాలి.

గణితంలో సరళ విధి సంకలితం మరియు సజాతీయత యొక్క లక్షణాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది. లీనియర్ ఫంక్షన్లు సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రాన్ని కూడా గమనిస్తాయి, ఇది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఇన్‌పుట్‌ల యొక్క నికర ఉత్పత్తి వ్యక్తిగత ఇన్‌పుట్‌ల యొక్క అవుట్‌పుట్‌ల మొత్తానికి సమానం అని పేర్కొంది. సాధారణంగా ఉపయోగించే సరళ సంబంధం ఒక సహసంబంధం, ఇది ఒక సరళ పద్ధతిలో ఒక వేరియబుల్ మరొక వేరియబుల్‌లో మార్పులకు ఎలా మారుతుందో వివరిస్తుంది.

ఎకోనొమెట్రిక్స్లో, లీనియర్ రిగ్రెషన్ అనేది వివిధ విషయాలను వివరించడానికి సరళ సంబంధాలను సృష్టించే తరచుగా ఉపయోగించే పద్ధతి. అయితే అన్ని సంబంధాలు సరళమైనవి కావు. కొన్ని డేటా వక్రంగా ఉన్న సంబంధాలను వివరిస్తుంది (బహుపది సంబంధాలు వంటివి), అయితే ఇతర డేటాను పారామితి చేయలేము.

సరళ విధులు

సరళ సంబంధానికి గణితశాస్త్రపరంగా సమానమైనది సరళ విధి యొక్క భావన. ఒక వేరియబుల్‌లో, సరళ ఫంక్షన్‌ను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

f (x) = MX + bwhere: m = slopeb = y-అడ్డుకొనే

ఇది సరళ సంబంధానికి ఇచ్చిన సూత్రానికి సమానంగా ఉంటుంది తప్ప y స్థానంలో f (x) చిహ్నం ఉపయోగించబడుతుంది . X ను f (x) కు మ్యాప్ చేసిన అర్థాన్ని హైలైట్ చేయడానికి ఈ ప్రత్యామ్నాయం తయారు చేయబడింది, అయితే y యొక్క ఉపయోగం x మరియు y రెండు పరిమాణాలు అని సూచిస్తుంది, A మరియు B కి సంబంధించినది.

సరళ బీజగణితం యొక్క అధ్యయనంలో, సరళ ఫంక్షన్ల యొక్క లక్షణాలు విస్తృతంగా అధ్యయనం చేయబడతాయి మరియు కఠినంగా తయారవుతాయి. R ^N నుండి స్కేలార్ సి మరియు రెండు వెక్టర్స్ A మరియు B ఇచ్చినప్పుడు, సరళ ఫంక్షన్ యొక్క సాధారణ నిర్వచనం ఇలా పేర్కొంది: $\mathrm{సి}\times f(\mathrm{ఒక}+B)=\mathrm{సి}\times f\left(\mathrm{ఒక}\right)+\mathrm{సి}\times f\left(B\right)$ సి × f (A + B) = c × f (ఎ) + c × f (B)

లీనియర్ సంబంధాల ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

రోజువారీ జీవితంలో సరళ సంబంధాలు చాలా సాధారణం. ఉదాహరణకు వేగం అనే భావనను తీసుకుందాం. వేగాన్ని లెక్కించడానికి మేము ఉపయోగించే సూత్రం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: వేగం యొక్క రేటు కాలక్రమేణా ప్రయాణించే దూరం. కాలిఫోర్నియాలోని శాక్రమెంటో మరియు మేరీస్విల్లే మధ్య హైవే 99 లో 41.3 మైళ్ళ విస్తీర్ణంలో ఉన్న 2007 క్రిస్లర్ టౌన్ మరియు కంట్రీ మినివాన్లలో ఎవరైనా ప్రయాణిస్తుంటే, మరియు ప్రయాణం పూర్తి 40 నిమిషాలు పడుతుంది, ఆమె 60 mph కంటే తక్కువ ప్రయాణించి ఉంటుంది.

ఈ సమీకరణంలో రెండు కంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పటికీ, ఇది ఇప్పటికీ సరళ సమీకరణం ఎందుకంటే వేరియబుల్స్ ఒకటి ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది (దూరం).

ఉదాహరణ 2

దూరం = రేటు x సమయం అనే సమీకరణంలో కూడా ఒక సరళ సంబంధాన్ని కనుగొనవచ్చు. దూరం సానుకూల సంఖ్య కనుక (చాలా సందర్భాలలో), ఈ సరళ సంబంధం X మరియు Y- అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క కుడి ఎగువ భాగంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది.

ఇద్దరి కోసం తయారు చేసిన సైకిల్ గంటకు 30 మైళ్ల చొప్పున 20 గంటలు ప్రయాణిస్తుంటే, రైడర్ 600 మైళ్ల ప్రయాణంతో ముగుస్తుంది. Y- అక్షంపై దూరం మరియు X- అక్షంపై సమయంతో గ్రాఫికల్‌గా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, ఆ 20 గంటలకు పైగా దూరాన్ని ట్రాక్ చేసే ఒక లైన్ X మరియు Y- అక్షం యొక్క కలయిక నుండి నేరుగా ప్రయాణిస్తుంది.

ఉదాహరణ 3

సెల్సియస్‌ను ఫారెన్‌హీట్‌గా లేదా ఫారెన్‌హీట్‌ను సెల్సియస్‌గా మార్చడానికి, మీరు ఈ క్రింది సమీకరణాలను ఉపయోగిస్తారు. ఈ సమీకరణాలు గ్రాఫ్‌లో సరళ సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి:

$°\mathrm{సి}=\frac{5}{9}(°F-32)$ ° C = 95 (° F-32)

$°F=\frac{9}{5}(°\mathrm{సి}+32)$ ° F = 59 (° C + 32)

ఉదాహరణ 4

స్వతంత్ర వేరియబుల్ అనేది ఇంటి పరిమాణం (చదరపు ఫుటేజ్ ద్వారా కొలుస్తారు), ఇది 207.65 యొక్క వాలు గుణకం ద్వారా గుణించబడినప్పుడు ఇంటి మార్కెట్ ధరను (డిపెండెంట్ వేరియబుల్) నిర్ణయిస్తుంది మరియు తరువాత term 10, 500 అనే స్థిరమైన పదానికి జోడించబడుతుంది.. ఇంటి చదరపు ఫుటేజ్ 1, 250 అయితే, ఇంటి మార్కెట్ విలువ (1, 250 x 207.65) + $ 10, 500 = $ 270, 062.50. గ్రాఫికల్, మరియు గణితశాస్త్రంలో, ఇది క్రింది విధంగా కనిపిస్తుంది:

చిత్రం జూలీ బ్యాంగ్ © ఇన్వెస్టోపీడియా 2019

ఈ ఉదాహరణలో, ఇంటి పరిమాణం పెరిగేకొద్దీ, ఇంటి మార్కెట్ విలువ సరళ పద్ధతిలో పెరుగుతుంది.

రెండు వస్తువుల మధ్య కొన్ని సరళ సంబంధాలను "నిష్పత్తి యొక్క స్థిరాంకం" అని పిలుస్తారు. ఈ సంబంధం కనిపిస్తుంది

Y = k × Xwhere: k = స్థిరాంకం, X = అనుపాత పరిమాణాలు

ప్రవర్తనా డేటాను విశ్లేషించేటప్పుడు, వేరియబుల్స్ మధ్య ఖచ్చితమైన సరళ సంబంధం చాలా అరుదుగా ఉంటుంది. ఏదేమైనా, సరళ సంబంధాల యొక్క కఠినమైన సంస్కరణను రూపొందించే డేటాలో ధోరణి-పంక్తులను కనుగొనవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు ఐస్‌క్రీమ్ అమ్మకం మరియు ఆసుపత్రి సందర్శనల సంఖ్యను గ్రాఫ్‌లో ప్లే చేసే రెండు వేరియబుల్స్‌గా చూడవచ్చు మరియు రెండింటి మధ్య సరళ సంబంధాన్ని కనుగొనవచ్చు.