ద్విపద ఎంపిక ధర నమూనాను అర్థం చేసుకోవడం

స్టాక్ ధరలను నిర్ణయించడం

ఏదైనా ట్రేడబుల్ ఆస్తికి ఖచ్చితమైన ధరను అంగీకరించడం సవాలుగా ఉంది-అందుకే స్టాక్ ధరలు నిరంతరం మారుతూ ఉంటాయి. వాస్తవానికి, కంపెనీలు వారి విలువలను రోజువారీ ప్రాతిపదికన మార్చవు, కానీ వాటి స్టాక్ ధరలు మరియు విలువలు దాదాపు ప్రతి సెకనులో మారుతాయి. ఏదైనా వర్తకం చేయగల ఆస్తికి సరైన ధరల గురించి ఏకాభిప్రాయం సాధించడంలో ఈ కష్టం స్వల్పకాలిక మధ్యవర్తిత్వ అవకాశాలకు దారితీస్తుంది.

కానీ చాలా విజయవంతమైన పెట్టుబడులు వర్తమాన మదింపు యొక్క సాధారణ ప్రశ్నకు దిమ్మతిరుగుతాయి- future హించిన భవిష్యత్ ప్రతిఫలం కోసం ఈ రోజు సరైన ప్రస్తుత ధర ఏమిటి?

ద్విపద ఎంపికల మూల్యాంకనం

పోటీ మార్కెట్లో, మధ్యవర్తిత్వ అవకాశాలను నివారించడానికి, ఒకే విధమైన చెల్లింపు నిర్మాణాలతో ఆస్తులు ఒకే ధరను కలిగి ఉండాలి. ఎంపికల మూల్యాంకనం ఒక సవాలు పని మరియు ధర వ్యత్యాసాలు మధ్యవర్తిత్వ అవకాశాలకు దారితీస్తాయి. బ్లాక్-స్కోల్స్ ధర ఎంపికల కోసం ఉపయోగించే అత్యంత ప్రాచుర్యం పొందిన మోడళ్లలో ఒకటిగా ఉంది, కానీ పరిమితులు ఉన్నాయి.

ధర ఎంపికల కోసం ఉపయోగించే మరొక ప్రసిద్ధ పద్ధతి ద్విపద ఎంపిక ధర నమూనా.

ఉదాహరణలు

ప్రస్తుత మార్కెట్ ధర $ 100 తో ఒక నిర్దిష్ట స్టాక్‌లో కాల్ ఆప్షన్ ఉందని అనుకోండి. ఎట్-ది-మనీ (ఎటిఎం) ఎంపికలో సమ్మె ధర $ 100 ఉంది, ఇది ఒక సంవత్సరం గడువు ముగిసే సమయం. పీటర్ మరియు పౌలా అనే ఇద్దరు వ్యాపారులు ఉన్నారు, వీరిద్దరూ స్టాక్ ధర $ 110 కు పెరుగుతుందని లేదా ఒక సంవత్సరంలో $ 90 కు పడిపోతుందని అంగీకరిస్తున్నారు.

వారు ఒక సంవత్సరం ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో price హించిన ధరల స్థాయిలను అంగీకరిస్తారు, కాని పైకి లేదా క్రిందికి వెళ్ళే సంభావ్యతపై విభేదిస్తున్నారు. స్టాక్ ధర $ 110 కి వెళ్ళే సంభావ్యత 60% అని పీటర్ అభిప్రాయపడ్డాడు, పౌలా అది 40% అని నమ్ముతాడు.

దాని ఆధారంగా, కాల్ ఎంపిక కోసం ఎవరు ఎక్కువ ధర చెల్లించడానికి సిద్ధంగా ఉంటారు? బహుశా పీటర్, అతను ఎత్తుగడ యొక్క అధిక సంభావ్యతను ఆశిస్తాడు.

ద్విపద ఎంపికల లెక్కలు

వాల్యుయేషన్ ఆధారపడి ఉన్న రెండు ఆస్తులు కాల్ ఎంపిక మరియు అంతర్లీన స్టాక్. పాల్గొనేవారిలో అంతర్లీన స్టాక్ ధర ఒక సంవత్సరంలో ప్రస్తుత $ 100 నుండి $ 110 లేదా $ 90 కి మారగలదని మరియు ఇతర ధరల కదలికలు సాధ్యం కాదని ఒక ఒప్పందం ఉంది.

మధ్యవర్తిత్వ రహిత ప్రపంచంలో, మీరు ఈ రెండు ఆస్తులు, కాల్ ఆప్షన్ మరియు అంతర్లీన స్టాక్‌లతో కూడిన పోర్ట్‌ఫోలియోను సృష్టించవలసి వస్తే, అంతర్లీన ధర ఎక్కడికి వెళుతుందో సంబంధం లేకుండా - $ 110 లేదా $ 90 - పోర్ట్‌ఫోలియోపై నికర రాబడి ఎల్లప్పుడూ అలాగే ఉంటుంది. ఈ పోర్ట్‌ఫోలియోను సృష్టించడానికి మీరు అంతర్లీన మరియు చిన్న వన్ కాల్ ఎంపికల "డి" షేర్లను కొనుగోలు చేశారని అనుకుందాం.

ధర $ 110 కు వెళితే, మీ వాటాల విలువ $ 110 * d అవుతుంది, మరియు మీరు షార్ట్ కాల్ చెల్లింపులో $ 10 కోల్పోతారు. మీ పోర్ట్‌ఫోలియో యొక్క నికర విలువ (110 డి - 10).

ధర $ 90 కి తగ్గితే, మీ వాటాల విలువ $ 90 * d అవుతుంది, మరియు ఎంపిక విలువ లేకుండా ముగుస్తుంది. మీ పోర్ట్‌ఫోలియో యొక్క నికర విలువ (90 డి) అవుతుంది.

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ ఎక్కడ: \\ h = అత్యధిక సంభావ్య అంతర్లీన ధర \\ d = అంతర్లీన వాటాల సంఖ్య \\ m = షార్ట్ కాల్ చెల్లింపులో డబ్బు పోయింది \\ l = తక్కువ సంభావ్య అంతర్లీన ధర \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {ఇక్కడ:} \ & h = \ టెక్స్ట్ {అత్యధిక సంభావ్య అంతర్లీన ధర} \ & d = \ టెక్స్ట్ under అంతర్లీన వాటాల సంఖ్య} \ & m = \ టెక్స్ట్ short చిన్న కాల్ చెల్లింపులో డబ్బు కోల్పోయింది} \ & l = \ టెక్స్ట్ {అత్యల్ప సంభావ్య అంతర్లీన ధర} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ H (d) −m = l (d) ఇక్కడ: h = అత్యధిక సంభావ్య అంతర్లీన ధర = అంతర్లీన వాటాల సంఖ్య = స్వల్ప కాల్‌లో కోల్పోయిన డబ్బు payoffl = తక్కువ సంభావ్య అంతర్లీన ధర

కాబట్టి మీరు సగం వాటాను కొనుగోలు చేస్తే, పాక్షిక కొనుగోళ్లు సాధ్యమని uming హిస్తే, మీరు ఒక పోర్ట్‌ఫోలియోను సృష్టించగలుగుతారు, తద్వారా దాని విలువ ఒక సంవత్సరం ఇచ్చిన కాలపరిమితిలో సాధ్యమయ్యే రెండు రాష్ట్రాల్లోనూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {సమలేఖనం}$ 110d-10 = 90dd = 21

(90 డి) లేదా (110 డి - 10) = 45 చే సూచించబడిన ఈ పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ ఒక సంవత్సరం క్రింద ఉంది. ప్రస్తుత విలువను లెక్కించడానికి, రిస్క్-ఫ్రీ రిటర్న్ రేటు (5% uming హిస్తూ) దీనిని తగ్గించవచ్చు.

$\begin{matrix} ప్రస్తుత విలువ & = 90 d \times ఇ^{(- 5 % \times 1 ఇయర్)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} టెక్స్ట్ {ప్రస్తుత విలువ} & = 90d \ సార్లు e ^ {(-5 \% \ సార్లు 1 \ టెక్స్ట్ {సంవత్సరం})} \ & = 45 \ సార్లు 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ అంతం {సమలేఖనమైంది}$ ప్రస్తుత విలువ = 90 డి × ఇ (−5% × 1 సంవత్సరం) = 45 × 0.9523 = 42.85

ప్రస్తుతం, పోర్ట్‌ఫోలియోలో అంతర్లీన స్టాక్ యొక్క వాటా (మార్కెట్ ధర $ 100 తో) మరియు ఒక చిన్న కాల్ ఉన్నాయి, ఇది ప్రస్తుత విలువకు సమానంగా ఉండాలి.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times కాల్ ధర = $ 42.85 \\ కాల్ ధర = $ 7.14, అంటే నేటి కాల్ ధర \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & \ frac {1} {2} సార్లు 100 - 1 \ సార్లు \ టెక్స్ట్ {కాల్ ధర} = \ $ 42.85 \\ & \ టెక్స్ట్ {కాల్ ధర} = \ $ 7.14 \ టెక్స్ట్ {, అంటే కాల్ ధర నేటి} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ 21 × 100−1 × కాల్ ధర = $ 42.85 కాల్ ధర = $ 7.14, అంటే నేటి కాల్ ధర

అంతర్లీన ధర ఏ విధంగా వెళుతుందో సంబంధం లేకుండా పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ ఒకే విధంగా ఉంటుంది అనే on హపై ఇది ఆధారపడి ఉంటుంది కాబట్టి, పైకి కదలిక లేదా క్రిందికి కదిలే సంభావ్యత ఏ పాత్రను పోషించదు. అంతర్లీన ధరల కదలికలతో సంబంధం లేకుండా పోర్ట్‌ఫోలియో ప్రమాద రహితంగా ఉంటుంది.

రెండు సందర్భాల్లో (move 110 కి మరియు move 90 కి క్రిందికి కదలాలని భావించబడుతుంది), మీ పోర్ట్‌ఫోలియో ప్రమాదానికి తటస్థంగా ఉంటుంది మరియు రిస్క్-ఫ్రీ రిటర్న్ రేటును సంపాదిస్తుంది.

అందువల్ల వ్యాపారులు, పీటర్ మరియు పౌలా ఇద్దరూ ఈ కాల్ ఎంపిక కోసం ఒకే $ 7.14 చెల్లించడానికి సిద్ధంగా ఉంటారు, అప్ కదలికల (60% మరియు 40%) సంభావ్యతపై వారి భిన్నమైన అవగాహన ఉన్నప్పటికీ. ఎంపిక వ్యక్తి మదింపులో వారి వ్యక్తిగతంగా గ్రహించిన సంభావ్యత పట్టింపు లేదు.

వ్యక్తిగత సంభావ్యత ముఖ్యమైనదని బదులుగా, మధ్యవర్తిత్వ అవకాశాలు తమను తాము ప్రదర్శించి ఉండవచ్చు. వాస్తవ ప్రపంచంలో, ఇటువంటి మధ్యవర్తిత్వ అవకాశాలు చిన్న ధరల వ్యత్యాసాలతో ఉన్నాయి మరియు స్వల్పకాలికంలో అదృశ్యమవుతాయి.

ఎంపికల ధరలను ప్రభావితం చేసే ముఖ్యమైన మరియు సున్నితమైన కారకం ఈ లెక్కలన్నింటిలో ఎక్కువగా హైప్ చేయబడిన అస్థిరత ఎక్కడ ఉంది?

సమస్య యొక్క నిర్వచనం యొక్క స్వభావం ద్వారా అస్థిరత ఇప్పటికే చేర్చబడింది. రెండు (మరియు రెండు మాత్రమే-అందుకే “ద్విపద” అనే పేరు) ధర స్థాయిల ($ 110 మరియు $ 90) స్థితులను uming హిస్తే, అస్థిరత ఈ in హలో అవ్యక్తంగా ఉంటుంది మరియు స్వయంచాలకంగా చేర్చబడుతుంది (ఈ ఉదాహరణలో 10% మార్గం).

నల్లని స్కోల్స్

కానీ ఈ విధానం సరైనది మరియు సాధారణంగా ఉపయోగించే బ్లాక్-స్కోల్స్ ధరతో పొందికగా ఉందా? ఐచ్ఛికాలు కాలిక్యులేటర్ ఫలితాలు (OIC సౌజన్యంతో) కంప్యూటెడ్ విలువతో దగ్గరగా సరిపోతాయి:

దురదృష్టవశాత్తు, వాస్తవ ప్రపంచం “రెండు రాష్ట్రాలు మాత్రమే” అంత సులభం కాదు. గడువు ముగిసే సమయానికి ముందు స్టాక్ అనేక ధర స్థాయిలను చేరుకోగలదు.

రెండు స్థాయిలకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడిన ద్విపద ధర నమూనాలో ఈ బహుళ స్థాయిలను చేర్చడం సాధ్యమేనా? అవును, ఇది చాలా సాధ్యమే, కానీ అర్థం చేసుకోవడానికి కొన్ని సాధారణ గణితాలను తీసుకుంటుంది.

సాధారణ మఠం

ఈ సమస్య మరియు పరిష్కారాన్ని సాధారణీకరించడానికి:

"X" అనేది స్టాక్ యొక్క ప్రస్తుత మార్కెట్ ధర మరియు "X * u" మరియు "X * d" సంవత్సరాల తరువాత "t" పైకి క్రిందికి కదలికలకు భవిష్యత్తు ధరలు. కారకం "u" ఒకటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఇది పైకి కదలికను సూచిస్తుంది మరియు "d" సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య ఉంటుంది. పై ఉదాహరణ కోసం, u = 1.1 మరియు d = 0.9.

కాల్ ఎంపిక చెల్లింపులు గడువు సమయంలో పైకి క్రిందికి కదలికల కోసం "పి _అప్ " మరియు "పి _{డిఎన్} ".

$\begin{matrix} VUM = లు \times X \times u - {పి}_{అప్} \\ ఎక్కడ: \\ VUM = పైకి తరలిస్తే పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ \end{matrix} \ ప్రారంభం {సమలేఖనం} & \ టెక్స్ట్ {VUM} = s \ సార్లు X \ సార్లు u - P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} \ & \ textbf {ఇక్కడ:} \ & \ టెక్స్ట్ {VUM} = \ టెక్స్ట్ port పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ పైకి కదిలితే} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ VUM = s × X × u - పప్ ఇక్కడ: VUM = పైకి కదిలితే పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ

$\begin{matrix} VDM = లు \times X \times d - {పి}_{డౌన్} \\ ఎక్కడ: \\ VDM = డౌన్ కదలిక విషయంలో పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ \end{matrix} \ begin {aligned} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \ & \ textbf {where:} \ & \ text {VDM} = \ text port పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ డౌన్ కదలిక విషయంలో} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ VDM = s × X × d - Pdown where: VDM = క్రిందికి కదిలితే పోర్ట్‌ఫోలియో విలువ

ధరల కదలికల విషయంలో ఇలాంటి మదింపు కోసం:

$లు \times X \times u - {పి}_{అప్} = లు \times X \times d - {పి}_{డౌన్} s \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down}$ లు × X × u-పప్ = s × X × D-Pdown

$\begin{matrix} లు & = \frac{{పి}_{అప్} - {పి}_{డౌన్}}{X \times (u - d)} \\ = కొనుగోలు చేయవలసిన వాటాల సంఖ్య \\ ప్రమాద రహిత పోర్ట్‌ఫోలియో \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} s & = \ frac {P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} - P_ \ టెక్స్ట్ {డౌన్}} {X \ సార్లు (u - d)} \ & = \ టెక్స్ట్ for కోసం కొనుగోలు చేయవలసిన వాటాల సంఖ్య} \ & \ ఫాంటమ్ {=} టెక్స్ట్ {ప్రమాద రహిత పోర్ట్‌ఫోలియో} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ s = X × (u - d) పప్ −Pdown = ప్రమాద రహిత పోర్ట్‌ఫోలియో కోసం కొనుగోలు చేయవలసిన వాటాల సంఖ్య

"T" సంవత్సరాల చివరిలో పోర్ట్‌ఫోలియో యొక్క భవిష్యత్తు విలువ:

$\begin{matrix} కేస్ ఆఫ్ అప్ మూవ్ లో & = లు \times X \times u - {పి}_{అప్} \\ = \frac{{పి}_{అప్} - {పి}_{డౌన్}}{u - d} \times u - {పి}_{అప్} \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} టెక్స్ట్ {కేస్ ఆఫ్ అప్ మూవ్} & = s \ సార్లు X \ సార్లు u - P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} \ & = \ frac {P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} - P_ \ టెక్స్ట్ {డౌన్}. } {u - d} సార్లు u - P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ కేస్ ఆఫ్ అప్ మూవ్ = s × X × u - Pup = u - dPup −Pdown × u - Pup

$\begin{matrix} కేస్ ఆఫ్ డౌన్ మూవ్ లో & = లు \times X \times d - {పి}_{డౌన్} \\ = \frac{{పి}_{అప్} - {పి}_{డౌన్}}{u - d} \times d - {పి}_{డౌన్} \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} text {డౌన్ కేస్ కేసులో} & = s \ సార్లు X \ సార్లు d - P_ \ టెక్స్ట్ {డౌన్} \ & = \ frac {P_ \ టెక్స్ట్ {పైకి} - P_ \ టెక్స్ట్ {డౌన్}. } {u - d} సార్లు d - P_ \ టెక్స్ట్ {డౌన్} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ కేస్ ఆఫ్ డౌన్ మూవ్ = s × X × d - Pdown = u - dPup −Pdown × d - Pdown

ప్రస్తుత-విలువ రిస్క్-ఫ్రీ రిటర్న్ రేటుతో డిస్కౌంట్ చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు:

$\begin{matrix} పివి = ఇ (- r t) \times \\ ఎక్కడ: \\ పివి = ప్రస్తుత-రోజు విలువ \\ r = తిరుగు రేటు \\ t = సమయం, సంవత్సరాలలో \end{matrix} \ ప్రారంభం {సమలేఖనం} & \ వచనం {PV} = e (-rt) సార్లు \ ఎడమ \\ & \ textbf {ఇక్కడ:} \ & \ టెక్స్ట్ {PV} = \ టెక్స్ట్ {ప్రస్తుత-రోజు విలువ} \ & r = \ టెక్స్ట్ return తిరిగి వచ్చే రేటు} \ & t = \ టెక్స్ట్ {సమయం, సంవత్సరాలలో} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ PV = e (−rt) × ఇక్కడ: PV = ప్రస్తుత-రోజు విలువ = తిరిగి వచ్చే రేటు = సమయం, సంవత్సరాల్లో

ఇది X ధర వద్ద "s" షేర్ల పోర్ట్‌ఫోలియో హోల్డింగ్‌తో సరిపోలాలి, మరియు షార్ట్ కాల్ విలువ "సి" (ప్రస్తుత హోల్డింగ్ (లు * X - సి) ఈ లెక్కకు సమానం.) "సి" కోసం పరిష్కరించడం చివరకు ఇస్తుంది వంటి:

గమనిక: కాల్ ప్రీమియం చిన్నదిగా ఉంటే, అది పోర్ట్‌ఫోలియోకు అదనంగా ఉండాలి, వ్యవకలనం కాదు.

$సి = \frac{ఇ (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d}. సార్లు$ c = u-డి (-rt) ×

సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి మరొక మార్గం దానిని క్రమాన్ని మార్చడం:

"Q" ను ఇలా తీసుకుంటుంది:

$q = \frac{ఇ (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-డి (-rt) -d

అప్పుడు సమీకరణం అవుతుంది:

$సి = ఇ (- r t) \times (q \times {పి}_{అప్} + (1 - q) \times {పి}_{డౌన్}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ c = ఇ (-rt) × (q × పప్ + (1-Q) × Pdown)

“Q” పరంగా సమీకరణాన్ని తిరిగి అమర్చడం కొత్త కోణాన్ని అందించింది.

ఇప్పుడు మీరు “q” ను అంతర్లీన కదలిక యొక్క సంభావ్యతగా అర్థం చేసుకోవచ్చు (“q” P _పైకి అనుబంధించబడింది మరియు “1-q” P _dn తో అనుబంధించబడింది). మొత్తంమీద, సమీకరణం ప్రస్తుత ఎంపిక ధరను సూచిస్తుంది, గడువు ముగిసే సమయానికి దాని చెల్లింపు యొక్క రాయితీ విలువ.

ఈ "Q" భిన్నంగా ఉంటుంది

ఈ సంభావ్యత “q” పైకి కదలిక లేదా అంతర్లీన కదలిక యొక్క సంభావ్యత నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది?

$\begin{matrix} VSP = q \times X \times u + (1 - q) \times X \times d \\ ఎక్కడ: \\ VSP = ఆ సమయంలో స్టాక్ ధర విలువ t \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & \ టెక్స్ట్ {VSP} = q \ సార్లు X \ సార్లు u + (1 - q) సార్లు X \ సార్లు d \\ & \ textbf {ఇక్కడ:} \ & \ టెక్స్ట్ {VSP} = \ టెక్స్ట్ Time సమయానికి స్టాక్ ధర విలువ} t \\ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ VSP = q × X × u + (1 - q) × X × dwhere: VSP = సమయం వద్ద స్టాక్ ధర విలువ t

"Q" యొక్క విలువను ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు క్రమాన్ని మార్చడం, "t" సమయంలో స్టాక్ ధర వస్తుంది:

$\begin{matrix} స్టాక్ ధర = ఇ (r t) \times X \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & \ టెక్స్ట్ {స్టాక్ ధర} = e (rt) సార్లు X \\ \ end {సమలేఖనం}$ స్టాక్ ధర = e (rt) × X.

రెండు-రాష్ట్రాల ఈ world హించిన ప్రపంచంలో, స్టాక్ ధర రిస్క్-ఫ్రీ రిటర్న్ రేటు ద్వారా పెరుగుతుంది, ఇది ఖచ్చితంగా రిస్క్-ఫ్రీ ఆస్తి వలె ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఇది ఏదైనా రిస్క్ నుండి స్వతంత్రంగా ఉంటుంది. పెట్టుబడిదారులు ఈ మోడల్ కింద రిస్క్ పట్ల భిన్నంగా ఉంటారు, కాబట్టి ఇది రిస్క్-న్యూట్రల్ మోడల్.

సంభావ్యత “q” మరియు “(1-q)” ను రిస్క్-న్యూట్రల్ ప్రాబబిలిటీస్ అంటారు మరియు వాల్యుయేషన్ పద్దతిని రిస్క్-న్యూట్రల్ వాల్యుయేషన్ మోడల్ అంటారు.

ఉదాహరణ దృష్టాంతంలో ఒక ముఖ్యమైన అవసరం ఉంది - భవిష్యత్ చెల్లింపు నిర్మాణం ఖచ్చితత్వంతో అవసరం (స్థాయి $ 110 మరియు $ 90). నిజ జీవితంలో, దశల ఆధారిత ధర స్థాయిల గురించి అటువంటి స్పష్టత సాధ్యం కాదు; బదులుగా ధర యాదృచ్ఛికంగా కదులుతుంది మరియు బహుళ స్థాయిలలో స్థిరపడవచ్చు.

ఉదాహరణను మరింత విస్తరించడానికి, రెండు-దశల ధర స్థాయిలు సాధ్యమేనని అనుకోండి. రెండవ దశ తుది చెల్లింపులు మాకు తెలుసు మరియు ఈ రోజు (ప్రారంభ దశలో) ఎంపికను మనం విలువైనదిగా పరిగణించాలి:

వెనుకకు పనిచేయడం, ఇంటర్మీడియట్ మొదటి దశ మదింపు (t = 1 వద్ద) దశ రెండు (t = 2) వద్ద తుది చెల్లింపులను ఉపయోగించి చేయవచ్చు, తరువాత ఈ లెక్కించిన మొదటి దశ విలువను (t = 1) ఉపయోగించి, ప్రస్తుత విలువ (t = 0) ఈ లెక్కలతో చేరుకోవచ్చు.

రెండవ స్థానంలో ఆప్షన్ ధర పొందడానికి, నాలుగు మరియు ఐదు వద్ద చెల్లింపులు ఉపయోగించబడతాయి. మూడవ సంఖ్యకు ధర పొందడానికి, ఐదు మరియు ఆరు వద్ద చెల్లింపులు ఉపయోగించబడతాయి. చివరగా, రెండు మరియు మూడు వద్ద లెక్కించిన చెల్లింపులు మొదటి స్థానంలో ధర పొందడానికి ఉపయోగించబడతాయి.

ఈ ఉదాహరణ రెండు దశల వద్ద పైకి (మరియు క్రిందికి) కదలికలకు ఒకే కారకాన్ని umes హిస్తుందని దయచేసి గమనించండి - u మరియు d మిశ్రమ పద్ధతిలో వర్తించబడతాయి.

పని ఉదాహరణ

Stick 110 సమ్మె ధరతో పుట్ ఆప్షన్ ప్రస్తుతం $ 100 వద్ద ట్రేడవుతోంది మరియు ఒక సంవత్సరంలో ముగుస్తుంది. వార్షిక ప్రమాద రహిత రేటు 5%. ప్రతి ఆరునెలలకు ఒకసారి ధర 20% మరియు 15% తగ్గుతుందని భావిస్తున్నారు.

ఇక్కడ, u = 1.2 మరియు d = 0.85, x = 100, t = 0.5

యొక్క పై ఉత్పన్న సూత్రాన్ని ఉపయోగించి

$q = \frac{ఇ (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-డి (-rt) -d

మనకు q = 0.35802832 లభిస్తుంది

పాయింట్ 2 వద్ద పుట్ ఎంపిక విలువ, $\begin{matrix} p_{2} = ఇ (- r t) \times (p \times {పి}_{upup} + (1 - q) {పి}_{updn}) \\ ఎక్కడ: \\ p = పుట్ ఎంపిక యొక్క ధర \end{matrix} \ begin {సమలేఖనం} & p_2 = e (-rt) సార్లు (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updaten}) \ & \ textbf {where:} \ & p = \ టెక్స్ట్ the పుట్ ఎంపిక యొక్క ధర} \ \ ముగింపు {సమలేఖనం}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 - q) Pupdn) ఇక్కడ: p = పుట్ ఎంపిక యొక్క ధర

పి అప్ _అప్ కండిషన్ వద్ద, అంతర్లీనంగా ఉంటుంది = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 పి _{అప్అప్} = సున్నాకి దారితీస్తుంది

P _{అప్‌డేన్ కండిషన్‌లో}, అంతర్లీనంగా ఉంటుంది = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 P _{నవీకరణకు} దారితీస్తుంది = $ 8

P _dndn స్థితిలో, అంతర్లీనంగా ఉంటుంది = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 P _dndn = $ 37.75 కు దారితీస్తుంది

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

అదేవిధంగా, p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

$p_{1} = ఇ (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) సార్లు (q \ సార్లు p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = ఇ (-rt) × (q × p2 + (1-Q) p3)

అందువల్ల పుట్ ఆప్షన్ విలువ, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29.

అదేవిధంగా, ద్విపద నమూనాలు మరింత శుద్ధి చేసిన బహుళ దశలు మరియు స్థాయిలకు మొత్తం ఎంపిక వ్యవధిని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లు లేదా స్ప్రెడ్‌షీట్‌లను ఉపయోగించి, కావలసిన ఎంపిక యొక్క ప్రస్తుత విలువను పొందడానికి మీరు ఒకేసారి ఒక అడుగు వెనుకకు పని చేయవచ్చు.

మరొక ఉదాహరణ

గడువు ముగియడానికి తొమ్మిది నెలలు, సమ్మె ధర $ 12 మరియు ప్రస్తుత అంతర్లీన ధర $ 10 తో యూరోపియన్-రకం పుట్ ఎంపికను ume హించుకోండి. అన్ని కాలాలకు 5% ప్రమాద రహిత రేటును ume హించుకోండి. ప్రతి మూడు నెలలకు ume హించుకోండి, అంతర్లీన ధర 20% పైకి లేదా క్రిందికి కదులుతుంది, ఇది మాకు u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 మరియు మూడు-దశల ద్విపద చెట్టును ఇస్తుంది.

ఎరుపు అంతర్లీన ధరలను సూచిస్తుంది, అయితే నీలం పుట్ ఎంపికల ప్రతిఫలాన్ని సూచిస్తుంది.

రిస్క్-న్యూట్రల్ సంభావ్యత "q" 0.531446 కు లెక్కించబడుతుంది.

పైన పేర్కొన్న "q" విలువ మరియు చెల్లింపు విలువలను t = తొమ్మిది నెలల్లో ఉపయోగించి, t = ఆరు నెలల వద్ద ఉన్న సంబంధిత విలువలు ఇలా లెక్కించబడతాయి:

ఇంకా, ఈ కంప్యూటెడ్ విలువలను t = 6 వద్ద, t = 3 వద్ద విలువలు t = 0 వద్ద:

ఇది పుట్ ఆప్షన్ యొక్క ప్రస్తుత విలువను 18 2.18 గా ఇస్తుంది, ఇది బ్లాక్-స్కోల్స్ మోడల్ ($ 2.30) ను ఉపయోగించి గణనలను చేయడం మీకు చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది.

బాటమ్ లైన్

కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామ్‌లను ఉపయోగించడం ఈ ఇంటెన్సివ్ లెక్కలను సులభతరం చేయగలిగినప్పటికీ, భవిష్యత్ ధరల అంచనా ఆప్షన్ ధరల కోసం ద్విపద నమూనాల యొక్క ప్రధాన పరిమితిగా మిగిలిపోయింది. సమయ వ్యవధిలో చక్కగా, ప్రతి వ్యవధి ముగింపులో అధిక-స్థాయి ఖచ్చితత్వంతో చెల్లింపులను అంచనా వేయడం చాలా కష్టం.

ఏదేమైనా, వేర్వేరు కాలాల్లో expected హించిన మార్పులను చేర్చడానికి వశ్యత ఒక ప్లస్, ఇది ప్రారంభ-వ్యాయామ విలువలతో సహా అమెరికన్ ఎంపికల ధరలకు అనుకూలంగా ఉంటుంది.

ద్విపద మోడల్‌ను ఉపయోగించి లెక్కించిన విలువలు బ్లాక్-స్కోల్స్ వంటి సాధారణంగా ఉపయోగించే ఇతర మోడళ్ల నుండి లెక్కించిన వాటికి దగ్గరగా సరిపోలుతాయి, ఇది ఎంపిక ధర కోసం ద్విపద నమూనాల ప్రయోజనం మరియు ఖచ్చితత్వాన్ని సూచిస్తుంది. వ్యాపారి యొక్క ప్రాధాన్యతలను బట్టి ద్విపద ధర నమూనాలను అభివృద్ధి చేయవచ్చు మరియు బ్లాక్-స్కోల్స్కు ప్రత్యామ్నాయంగా పని చేయవచ్చు.

విషయ సూచిక: